Pi greco, Wislawa Szymborska

È degno di ammirazione il Pi greco tre virgola uno quattro uno. Anche tutte le sue cifre successive sono iniziali, cinque nove due, poiché non finisce mai. [...] Il serpente più lungo della terra dopo vari metri si interrompe. Lo stesso, anche se un po' dopo, fanno i serpenti delle fiabe. Il corteo di cifre che compongono il Pi greco non si ferma sul bordo della pagina, È capace di srotolarsi sul tavolo, nell'aria, attraverso il muro, la foglia, il nido, le nuvole, diritto fino al cielo, per quanto è gonfio e senza fondo il cielo. [...]

Wislawa Szymborska

Circonferenza

Il Pi greco può essere pensato come il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, ovvero sia

\[\pi = {C \over D}\]

e il suo valore è di solito approssimato a 3.14159.

Non solo circonferenze

Il Pi greco in realtà è un numero che compare in molti contesti diversi. Per esempio Albert Einstein studiando il raggio di curvatura medio dei meandri di un fiume scoprì che questo era proprio uguale a Pi greco.

Pi greco compare inoltre nella formula di Eulero per i numeri complessi

\[e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi\]

che nel caso in cui \(\phi = \pi\) si riduce a

\[e^{i \pi} + 1 = 0\]

E' un numero irrazionale

Poiché Pi greco è un numero irrazionale non può essere rappresentato in maniera esatta come una frazione, anche se a volte viene approssimato con 22/7. La sua rappresentazione decimale prosegue all'infinito, per cui potremmo trovare qualsiasi numero nascosto in Pi greco, per esempio la nostra data di nascita, ma anche il nostro numero di telefono, etc.

Come si calcola il valore di Pi greco?

Disegnamo delle linee su di un foglio spaziate di una distanza \(t\) e poi lasciamo cadere degli aghi (needle) della stessa lunghezza \(l\) sul foglio, con \(l \leq t\). Quale è la probabilità che l'ago tagli una linea?

Questo problema fu posto per la prima volta dal matematico francese Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, nel 1733, che in seguito lo risolse e trovò che la probabilità che l'ago attraversi una linea è

\[p = \frac{2}{\pi} \frac{l}{t}\]

Stima di Pi greco

L'idea è quella di effettuare una serie di lanci con dei fiammiferi e calcolare la probabilità di attraversamento come rapporto tra il numero di attraversamenti \(h\) e il numero di fiammiferi caduti all'interno del foglio,

\[ p = \frac{h}{N-n}\]

dove \(N\) è il totale dei fiammiferi e \(n\) il numero di quelli caduti all'esterno del foglio.

Questo valore di \(p\) ci permette di effettuare una stima di \(\pi\), infatti

\[ \hat{\pi} = \frac{2}{l} \frac{t}{p}\]

e quindi, mediando tra i valori di \(\pi\) ottenuti in una serie di lanci, stimare il valore di Pi greco.

E utilizzando un algoritmo?

Sono stati sviluppati diversi algoritmi per il calcolo del valore numeric o di Pi greco, che sfruttano diversi metodi matematici. Prendiamone in considerazione due, il primo sfrutta l'algoritmo di Wallis,

\[\frac{\pi}{2} = (\frac{2\cdot2}{1 \cdot 3}) \cdot (\frac{4\cdot4}{3\cdot5}) \cdot (\frac{6\cdot6}{5\cdot7})\cdot\ldots\]

il secondo utilizza lo sviluppo in serie di Taylor, per cui

\[\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots\]

Possiamo implementare entrambi gli algortimi con un linguaggio di programmazione, per esempio in C oppure in Python, e determinare così un valore approssimato di Pi Greco.

Esempio di algoritmo per il calcolo di Pi Greco in C:

Esempio di algoritmo per il calcolo di Pi Greco in Python:

Il risultato del calcolo per il codice scritto in Python viene mostrato nella seguente figura: